## 前言

距离高考还有不到一年的时间里(创建时),将平时做错的题目加以整理,综合在此,毕业前持续更新。

题目大体可分三类:

  • 水题:思路流畅,解法自然,算量简单
  • 弱智题:思路流畅,解法奇特,算量简单
  • 好题:思路不流畅,解法不自然,算量很大

公式由MathJax渲染。

2D和3D图形均由Grapher绘制。

一、已知$F_1,F_2$为双曲线$\Gamma: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{20}=1(a>0)$的左右焦点,$P$为双曲线上一点,$PF_1$与$\Gamma$的一条渐近线平行,$PF_1\perp PF_2$,则$a=$___________。

由题有:$y_{PF_1}=\frac{b}{a}(x+c),y_{PF_2}=\frac{-a}{b}(x-c)$。

联立上述两式有:$P(\frac{a^2-b^2}{c^2},\frac{2ab}{c})$。

将$P$代入$\Gamma$,且由$c^2=a^2+b^2,b^2=20$,有解$a=\sqrt{5}$。

二、设$P(x,y)$是双曲线$a|x|+b|y|=1,(a>b>0)$上任意一点,其坐标满足$\sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}\leq 2\sqrt2$,则$\sqrt{2}a+b$的取值范围为___________。

由题意,$a|x|+b|y|=1,(a>b>0)$可化为椭圆$\frac{x^2}{2}+y^2=1$

$\sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}\leq 2\sqrt2$也可化为截距式$\frac{|x|}{\frac{1}{a}}+\frac{|y|}{\frac{1}{b}}=1$

即在如图所示菱形范围内有

$\frac{1}{a}\leq\sqrt2,\frac{1}{b}\leq1$,即$\sqrt2a\geq1,b\geq1$

故$\sqrt2a+b\geq2$

三、设抛物线$C:y^2=4x$的焦点为$F$,过$F$的直线$l$与抛物线交于$A,B$两点,$M$为抛物线$C$的准线与$x$轴的交点,若$\tan\angle AMB=2\sqrt 2$,则$AB=$_______.

作$AA’\perp$准线,则$\angle AMF=\angle AA’M$

即$\tan\angle AMF=\tan\angle AA’M=\frac{Y_A}{AA’}$,又由抛物线有:

$AA’=AF$,即$tan\angle AMF=\frac{Y_A}{AF}=\sin\theta$

同理$\tan\angle BMF=\sin\theta$

则$\tan\angle AMB=\tan(\angle AMF+\angle BMF)=\frac{\tan\angle AMF+\tan\angle BMF}{1-\tan\angle AMF\tan\angle BMF}=2\sqrt 2$

即$\sin\theta =\frac{\sqrt2}{2}$,则$AB=\frac{2p}{\sin^2\theta}=8$

四、已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,(a>0,b>0)$的实轴长为$16$,左焦点为$F$,$M$是双曲线$C$的一条渐近线上的点,且$OM\perp MF$,$O$为坐标原点,若$S_{\Delta OMF}=16$,则双曲线的离心率为_______.

由点到直线距离公式有$F_M=b$,

又$FO=c$,则$OM=a$

则$S=0.5ab=16$,由$a=8$,有$b=4$

故$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt5}{2}$

五、已知椭圆$C:\frac{x^2}{3}+y=1;(5.2)$的离心率为$\frac{\sqrt6}{3}$,短轴上的一个端点到右焦点的距离为$\sqrt3$,设直线$l$与椭圆$C$交与$A,B$两点,坐标原点$O$到直线的$l$的距离为$\frac{\sqrt3}{2}$,求$S_{\Delta AOB}\max$。

先不妨假设直线斜率存在,设为$y=kx+b;(5.1)$

联立$(5.1)(5.2)$有:$(k^2+\frac{1}{3})x^2+2kbx+b^2-1=0$

由韦达定理:$x_1+x_2=-\frac{2kb}{k^2+\frac{1}{3}},x_1x_2=\frac{b^2-1}{k^2+\frac{1}{3}}$

由题意,$l$与圆$x^2+y^2=(\frac{\sqrt3}{2})^2;(5.3)$,联立$(5.1)(5.3)$,有:

$(1+k^2)x^2+2kbx+b^2-\frac{3}{4}=0$,由$\Delta=0$,有$\frac{3+3k^2}{4}=b^2$

由弦长公式有:$AB=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{\sqrt{(1+k^2)(3k^2+\frac{1}{3})}}{k^2+\frac{1}{3}}$

假设$k\neq0$,则$AB^2=\frac{3(k^4+\frac{6}{9}k^2+\frac{1}{9})+\frac{4}{3}k^2}{k^4+\frac{6}{9}k^2+\frac{1}{9}}=3+\frac{\frac{4}{3}}{k^2+\frac{6}{9}+\frac{1}{9k^2}}$

求导可以得到$AB^2_{\max}=4,AB_{\max}=2$

当$k=0$时,$AB=\sqrt3<2$

故$S_{\Delta AOB}\max=0.5\times\frac{\sqrt3}{2}\times2=\frac{\sqrt3}{2}$

当斜率不存在时,可以发现$AB=\sqrt3,S_{\Delta AOB}\max=\frac{3}{4}<\frac{\sqrt3}{2}$

综上所述:$S_{\Delta AOB}\max=\frac{\sqrt3}{2}$

六、已知过$M(m,0)$的直线交抛物线$C:y^2=4x$于$A,B$两点,问是否$\exists m\in R$,使得以线段$AB$为直径的圆恒过原点。

假设直线斜率存在,不妨设$y=k(x-m);(6.1)$

显然$k\neq 0$,联立$C,(6.1)$有:$\frac{k}{4}y^2-y-km=0$

由韦达定理有:$y_Ay_B=-4m;(6.2)$

又$O$在以$AB$为直径的圆上,故$\angle_{AOB}=\frac{\pi}{2}$

即$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=\vec{0}$,故:$x_Ax_B+y_Ay_B=0$

由$C$有:$\frac{(y_Ay_B)^2}{16}+y_Ay_B=0$,代入$(6.2)$便有$\frac{16m^2}{16}-4m=0$,解得$m=0$或$4$

当直线斜率不存在时,不妨设$l_{AB}:x=m$,与$C$联立

有$y_A=2\sqrt m,y_B=-2\sqrt m$

同理有:$m^2-4m=0$,解得$m=0$(舍去)或$m=4$

综上所述,$m=0$或$4$时便符合题意

七、如图,在平面直角坐标系中,椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt 2}{2}$,过椭圆右焦点$F$作两条相互垂直的弦$AB$与$CD$,当直线$AB$斜率为$0$时,$|AB|+|CD|=3\sqrt 2$。

甲:求椭圆方程

乙:求$S_{ABCD}$的取值范围。

甲:

由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt 2}{2}=\sqrt{1-(\frac{b}{a})^2}\2a+2b\sqrt{1-(\frac{b}{a})^2}=3\sqrt 2$

有$\frac{x^2}{2}+y^2=1;(7.2)$

乙:

当两弦中一条斜率不存在,一条为$0$时:

$S_{ABCD}=0.5\times2a\times2\times\frac{b^2}{a}=2$

当两弦斜率都存时,不妨设$l_{AB}:y=k(x-1);(7.1)$

联立$(7.1)(7.2)$

有$(1+2k^2)x^2-4k^2x+2k^2-2=0$

则由弦长公式有$AB=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{2\sqrt2(k^2+1)}{2k^2+1}$

用$-\frac{1}{k}$代换$k$有$CD=\frac{2\sqrt2(\frac{1}{k^2}+1)}{\frac{2}{k^2}+1}$

当$k\neq 0$时:

则$S_{ABCD}=0.5\times AB\times CD=\frac{4k^4+4+8k^2}{2k^4+5k^2+2}=2-\frac{2}{2k^2+5+\frac{2}{k^2}}$

易知$S_{ABCD_{\min}}=16/9$

当$k=0$时:

$S_{ABCD}=2$

故$S\in[16/9,2)$

八、已知椭圆$C$:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$经过点$(1,\frac{\sqrt3}{2}),e=\frac{\sqrt3}{2}$

甲:求椭圆方程。

乙:直线$y=k(x-1)(k\neq0);(8.2)$于椭圆交与$A,B$两点,点$M$是椭圆$C$的右顶点,直线$AM$与直线$BM$分别与$y$轴交于点$P,Q$。试问以线段$PQ$为直径的圆是否过$x$轴上的定点,若是,求出交点坐标。

甲:

带入点坐标到$C$,又知道$e$,从而$C$:$\frac{x^2}{4}+y^2=1;(8.1)$

乙:

联立$(8.1)(8.2)$有:$(1+4k^2)x^2-8k^2+4k^2-4=0;(8.3)$

不妨设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,定点为$T(t,0)$

$l_{AM}:y=\frac{y_1}{x_1-2}(x-2)$,令$x=0,$有$P(0,\frac{-2y_1}{x_1-2})$

同理$Q(0,\frac{-2y_2}{x_2-2})$,易知$\vec{PT}·\vec{QT}=9,\vec{PT}=(t,\frac{-2y_1}{x_1-2}),\vec{QT}(t,\frac{-2y_2}{x_2-2})$

即:$t^2+\frac{4y_1y_2}{x_1x_2-2(x_1+x_2)+4}=t^2+\frac{4k^2(x_1-1)(x_2-1)}{x_1x_2-2(x_1+x_2)+4}=0$

带入$(8.3)$所得韦达定理,有$t^2-3=0$,即$t=\pm\sqrt3$

定点坐标$T(\sqrt3,0)$或$(-\sqrt3,0)$

九、已知椭圆$C:\frac{x^2}{3}+y^2=1$的左右顶点分别为$A,B$,点$P$为椭圆上一动点,则$\angle APB$的最大值是多少?

利用特殊位置法:

当$P$处于椭圆上顶点时有$\angle APB$最大值

$AO=BO=a=\sqrt3,OP=1$

则$AP=PB=2$,故$\angle APB=\frac{2}{3}\pi$

十、已知双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$上有不共线三点$A,B,C$,且$AB,BC,AC$的中点分别为$D,E,F$,若$k_{OD}+k_{OE}+k_{OF}=-1$,则$\frac{1}{k_{AB}}+\frac{1}{k_{BC}}+\frac{1}{k_{AC}}$是多少?

由双曲线中点弦斜率公式有:

$k_{AB}=\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$,不妨令$k_{AB}=\frac{b^2(x_0-0)}{a^2(y_0-0)}$

即有$\frac{1}{k_{AB}}=\frac{a^2}{b^2}\times k_{OD}=2k_{OD}$

同理可得$\frac{1}{k_{AB}}+\frac{1}{k_{BC}}+\frac{1}{k_{AC}}=2(k_{OD}+k_{OE}+k_{OF})=-2$

十一、已知抛物线$x^2=2py(p>0);(11.2)$,过$A(0,-1)$作直线$l$与抛物线交与$P,Q$两点,有$B(0,1)$,连$BP,BQ$,设$BP,QB$与$x$轴分别交于$N,M$两点,若$K_{QB}K_{PB}=-3;(11.1)$,$\angle MBN$是多少?

设直线$y_{QB}=kx-1;(11.3)$,由$(11.2)(11.3)$有:$x^2-2pkx+2p=0$

由韦达定理有:$x_1+x_2=2pk,x_1x_2=2p$

显然$k_{BP}=\frac{y_1-1}{x_1},k_{QB}=\frac{y_2-1}{x_2}$

$k_{BP}+k_{QB}=\frac{2kx_1x_2-2(x_1x_2)}{x_1x_2}=\frac{2k2p-2pk2}{2p};(11.3)$

由$(11.1)(11.3)$有$k_{BP}=\sqrt3$,故$\angle MBN=\frac{\pi}{3}$

十二、命题“若$x=1$,则$x^2-1=0$”的否命题是“若$x\neq1$,则$x^2-1\neq0$”

十三、已知$x,y$满足线性约束条件$$\left{\begin{aligned}x-y+1&\geq0\2x+y-2&\geq0\x&\leq2\end{aligned}\right.$$则目标函数最小值是$-4$。

十四、已知$a,b,c\in R$,则$a>b$的一个充分不必要条件是$ac^2>bc^2$。

十五、已知${a_n}$是等差数列,$a_1=\tan\frac{\pi}{4},a_5=13a_1;(15.1)$,设$S_n$为数列${(-1)^na_n}$的前$n$项和,则$S_{2016}$是多少?

由$(15.1)$有$a_n=3n-2$

则$S_n=-1(3\times1-2)+(3\times2-2)-(3\times3-2)…=\frac{3}{2}n$

故$S_{2016}=3024$

十六、若不等式$a^2+b^2+2>\lambda(a+b)$对$\forall a,b>0$恒成立,则实数$\lambda$的取值范围是多少?

不妨令$a=b$,有$2ab+2>\lambda(a+b)$

又$a,b>0$,则$\frac{ab}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{ab}}>\lambda$

求导可知$\lambda<2$

十七、“若$1\leq x\leq2$,则$m-1\leq x\leq m+1$”的逆否命题为真命题,则$m$的取值范围为$[1,2]$。

十八、过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦点$F$作一条直线,当直线倾斜角为$\frac{\pi}{6}$时,直线与双曲线左右两支各有一个交点,当直线倾斜角为$\frac{\pi}{3}$时,直线与双曲线右支有两个不同的焦点,则双曲线离心率的取值范围是多少?

直线过焦点,可以与渐近线相比较:

$\frac{\sqrt3}{3}<\frac{b}{a}<\sqrt3$

即$\frac{2\sqrt3}{3}<e<2$

十九、某公司计划$2016$年在当地甲乙两个电视台做总时间不超过$300$分钟的广告,广告费用不超过$90000$元,甲乙收费分别为$500$元每分钟和$200$元每分钟,预估收益为$3000$元和$2000$元,问如何分配时间使收益最大?

设在甲做$x$分钟,乙$y$分钟

由题意有$x+y\leq300,500x+200y\leq90000$

设利润为$p$,则$p=3000x+2000y$

求解线性规划有$P_{max}=700000$元

二十、已知命题$p$:“不等式$x^2-mx+m+3>0$的解集为$R$”,命题$q$:“$\frac{x^2}{m-9}+\frac{y^2}{m+1}=1$表示焦点在$y$轴上的双曲线”,若$p\vee q$为真,$p\land q$为假,求实数$m$的取值范围。

若$p$假$q$真有$\Delta\geq0,m-9<0,m+1>0$,即$m\in[6,9)$

若$p$真$q$假有$\Delta<0,m-9>0,m+1<0$,即$m\in(-2,-1]$

综上$m\in(-2,-1]\cup[6,9)$

二十一、设等差数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$,且$S_4=4S_2,a_{2n}=2a_n+1$。

甲、求数列${a_n}$的通项公式。($a_n=2n-1$)

乙、若数列${b_n}$满足$\sum_{k=1}^{n}\frac{b_k}{a_k}=1-\frac{1}{2^n}$,求${b_n}$前$n$项和$T_n$。

$\sum_{k=1}^{n}\frac{b_k}{a_k}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{b_k}{a_k}\delta k$

由离散微积分,$\frac{b_n+1}{a_n+1}=\Delta(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{b_k}{a_k}\delta k)=\Delta(1-\frac{1}{2^n})=\frac{1}{2^{n+1}}+C$,即$\frac{b_n}{a_n}=\frac{1}{2^n}+C$

即有$b_n$,从而利用错位相减得$T_n=3-\frac{2n+3}{2^n}$

二十二、已知等差数列${a_n}$的公差$d\neq 0$,前$n$项和为$S_n$,若对$\forall n\in N^*$,都有$S_n\geq S_{10}$,则$S_{19}\leq 0$。

二十三、已知两个等差数列${a_n}$和${b_n}$的前$n$项和分别为$A_n$和$B_n$,且$\frac{A_n}{B_n}=\frac{7n+45}{n+3}$,则使$\frac{a_n}{b_n}$为整数的正整数$n$有几个?

由题意有:$\frac{A_n}{B_n}=\frac{7n^2+45n}{n^2+3n}$

不妨令:$A_n=7n^2+45n,B_n=n^2+3n$。

则由离散微积分:$a_{n+1}=\Delta A_n=14n+52$

同理:$b_{n+1}=2n+4$

可得$a_n=14n+38,b_n=2n+2$,则$\frac{a_n}{b_n}=\frac{7n+19}{n+1}=\frac{7(n+1)+19}{n+1}=7+\frac{12}{n+1}$

即$(n+1)|12$,故$n$可取$1,2,3,5,11$

二十四、$x>2$是$\frac{1}{x}<\frac{1}{2}$的充分非必要条件。

二十五、双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左右焦点分别为$F_1F_2$,点$M,N$分别在双曲线的左右两支上,且$MN//F_1F_2,|MN|=\frac{1}{2}|F_1F_2|$,线段$F_1N$交双曲线$C$于点$Q$,$|F_1Q|=\frac{2}{5}|F_1N|$,求该双曲线的离心率。

由题意知$N(\frac{c}{2},Y_N),$由三角形相似有:

$\frac{Y_Q}{Y_N}=\frac{X_Q+c}{0.5c+c}$,有$X_Q=-\frac{2c}{5}$

将$Q,N$点代入$C$联立可解得$e=\sqrt7$

二十六、设命题$p$:“方程$\frac{x^2}{a+6}+\frac{y^2}{a-7}=1$表示中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线”;命题$q$:“$\exists x\in R$,使得$x^2-4x+a<0$”,若$p\land\lnot q$为真,求实数$a$的取值范围。

由题意有:$a+6>0,a-7<0$或$a+6<0,a-7>0$

解得$a\in(-6,7)$,且$\Delta=16-4a\leq0$

得$a\in[4,7)$

二十七、设变量$x,y$满足约束条件$\left{\begin{aligned}x+y& \geq & 2 \2x-y-1 & \geq & 0 \5x-y-10 & \leq & 10\end{aligned}\right.$,则$z=x-2y$有最小值$-7$,最大值$2$。

二十八、已知椭圆$C$的中心为原点$O$,$F(-5,0)$为椭圆的左焦点,$P$为椭圆$C$上一点,且满足$|OP|=|OF|$,$|PF|=6$,则$C$的方程是多少?

由题意,$OP=OF$,又$OF=OF’$,即三角形为直角三角形,

又$PF=6,OF=5,$则$PF$‘$=8$

故$a^2=(\frac{PF+PF’}2)^2=49$

$b^2=a^2-c^2=24$,故$C:\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$

二十九、在$\Delta ABC$中,角$A,B,C$的对边分别是$a,b,c,$若$\sin B+2\sin A\cos C=0$,则当$\cos B$取最小值时,$\frac ac$是多少?

由正弦定理和余弦定理有$b+\frac{a^2+b^2-c^2}b=0$,即$2b^2+a^2=c^2$

又由余弦定理:$a^2+c^2-2ac\cos B=\frac{c^2-a^2}2$

即$\cos B=\frac34\frac ac+\frac14\frac ca$,求导可(均值亦可)知$\frac ac=\pm \frac{\sqrt3}3$,有$\cos B \min$,则$\frac ac=\frac{\sqrt3}3$

三十、已知椭圆$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的右焦点为$F$,短轴上一个端点为$M$,且直线$l:3x-4y=0$与$E$交于$A,B$两点,若$|AF|+|BF|=4$,点$M$到直线$l$的距离小于$\frac45$,则$E$的离心率取值范围是多少?

由对称性和椭圆定义有:$2a=4$

由点到直线距离公式有:$d=\frac{4b}5<\frac45$,即$b<1;(30.1)$

则$e=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{4-b^2}}2$,由$(30.1)$,$e>\frac{\sqrt3}2$

又$E$为椭圆$,e<1$,综上$e\in(\frac{\sqrt3}2,1)$

三十四、$f(x)=\frac{x^4}4-\frac t3 x^3+\frac32x^2$在$(1,4)$上的$f’’(x)<0$恒成立,则$t$的范围为多少?

$f’’(x)=3x^2-2tx+3$,由题意$t>\frac{3x^2+3}{2x}$

不妨令$g(x)=\frac{3x^2+3}{2x}$,有$g’(x)=\frac{3x^2-3}{2x^2}$,易知$g’(1)=0$

又$x>1$时$g’(x)>0$,$x<1$时$g’(x)<0$,故$g’(1)$为最小值

则$t\geq g(4)=\frac{51}8$

三十五、已知$f(x)=\log_a(x^3-ax),a>0$且$a\neq1$,若函数$f(x)$在区间$(-\frac12,0)$上单调递增,则$a$的取值范围是多少?

当$0<a<1$时,$\log_au$单调递减,由“同增异减”有$3x^2-a\leq0$,

解得$a\in [\frac34,1)$

当$a>1$时,解得$a\leq0$,矛盾!

故$a\in [\frac34,1)$

三十六、已知点$P$为$f(x)=\frac12x^2+2ax$与$g(x)=3a^2\ln x+2b(a>0)$的交点,若以$P$为切点,可作$l$与两曲线都相切,则实数$b$的最大值是多少?

由题意有:$\frac12x^2+2ax=3a^2\ln x+2b;(36.1)$

$x+2a=\frac{3a^2}{x};(36.2)$

由$(36.1)(36.2)$有$x=-3a$或$a$,回代$(36.1)$

有$b=\frac54a^2-\frac32a^2\ln a$,又$a>0$,则$x=-3a$时$\ln x$无定义,舍去。

$b’=a-3a\ln a$,易知$b_{max}=\frac34e^{\frac23}$

三十七、已知$\int_0^1(x^2+m)dx=1$,则$f(x)=log_m(2x-x^2)$的单调递减区间是多少?

由$\int_0^1(x^2+m)dx=1$有$m=\frac23<1$,故$\log_mu$单调递减

由“同增异减”有$2x-x^2$为增函数,即$2-2x>0$,有$x<1$,

当$x<0$时$\log$无定义,故$x>0$

综上$x\in(0,1)$

五十四、已知$f(x)=x\ln x+\frac{a}{x}+3,g(x)=x^3-x^2$,若$\forall x_1,x_2\in[\frac{1}{3},2]$,都有$f(x_1)-g(x_2)\geq0$,则$a$的取值范围为___________。

由题意,$f_{min}(x_1)\geq g_{max}(x^2),g’(x)=3x^2-2x$

令$g’(x)=0$,有在$[\frac{1}{3},2]$内$g_{max}(x)=4$

即$x\ln x+\frac{a}{x}+3\geq 4$,参变分离有:$a\geq x-x^2\ln x$

令$h(x)=x-x^2\ln x$,求其最大值为$1$

故$a\geq 1$

五十五、已知$f(x)=x+e^{x-a},g(x)=\ln(x+2)-4e^{a-x}$,若$\exists x_0$,使得$f(x_0)-g(x_0)=3$成立,则$a$___________。

由题意:$x+e^{x-a}-\ln(x+2)+4e^{a-x}=3$

令$h(x)=\ln(x+2)-x+3,j(x)=e^{x-a}+4e^{a-x}$

求得$h’(x)=\frac{1}{x+2}-1$,有驻点$x=-1$,因为$h’’(-1)<0$,极大值为$h(-1)=4$

再令$t=e^{x-a}$,有$j(t)=t+\frac{4}{t}$,易知$t=2$时有极小值$4$

故有$e^{-1-a}=2$,得$a=-1-\ln 2$

五十六、若关于$x$的方程$x\ln x-kx+1=0$在区间$[\frac{1}{e},e]$上有两不等实根,则$k$的取值范围为___________。

由题意,$x\ln x=kx-1$,令$f(x)=x\ln x,g(x)=kx-1$

即原问题转化为$f(x),g(x)$在$[\frac{1}{e},e]$内是否有两不同交点。

$f’(x)=1+\ln x,f’’(x)=\frac{1}{x}$,令$f’(x)=0$,有驻点$x=\frac{1}{e}$,$f’’(\frac{1}{e})>0$,则为极小值;

在$[\frac{1}{e},e]$内$f’’(x)>0$,函数为凹,求得$f(e)=e,f(\frac{1}{e})=-\frac{1}{e},f(1)=0$。

故有图像:

即有$k\in[1,1+\frac{1}{e}]$

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